Bạn đang xem: Các bất đẳng thức phụ thường dùng
quý khách hàng vẫn coi tư liệu "Tuyển tập những bất đẳng thức hay gặp", để sở hữu tài liệu gốc về đồ vật các bạn clichồng vào nút DOWNLOAD nghỉ ngơi trên
Xem thêm: So Sánh Sữa Ovaltine Dành Cho Trẻ Mấy Tuổi, Sua Ovaltine Danh Cho Tre May Tuoi
TUYỂN TẬP CÁC BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG GẶP1) Cho a>0, b>0. Chứng minch rằng Giải:Cách 1: Ta có: (Bất đẳng thức đúng vị a, b > 0 nên 2)Vậy Cách 2: (bởi vì 22)2) Chứng minch rằng: x2 + 3 + Giải:Áp dụng bắt đẳng thức cô- mê say đến nhị số dương và ta có: 3) Cho a>0, b>0. Chứng minh rằng:Giải: (BĐT đúng)Vậy 4) Cho a + b 1. Chứng minc rằng a2 + b2 1Ta có: a + b 1 Mà (a – b)2 0. Do đó (a + b)2 + (a - b)2 15) Cho a > b, b > c, c > 0. Chứng minch rằng: Giải:Ta có: Mặt không giống theo bất đẳng thức Bunhiacốpxki Vậy 6) Cho a, b, c vừa lòng ĐK 0 với a+b+c=3. Chứng minch rằng: Giải:0 a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 – 2(ab+bc+ca)7) Cho a,b,c là tía cạnh của một tam giác. Chứng minc rằng: a2b + b2c + c2a + a2c + c2b + b2a - a3 - b3 - c3 > 0Giải:Vì a, b, c là độ fài bố cạnh của một tam giác bắt buộc theo bất đẳng thức ta có: b + c > a, c + a > b, a + b > c a2(b + c) > a2. a ; b2(c + a) >b2.b ; c2(a + b) > c2.c a2b + a2c > a3; b2c + b2a >b3 ; c2a + c2b > c3 a2b + a2c + b2c + b2a + c2a + c2b > a3 + b3 + c3 a2b + a2c + b2c + b2a + c2a + c2b - a3 - b3 - c3 > 0 (đpcm)8) Cho a,b,c là bố cạnh của một tam giác gồm chu vi bởi 2. Chứng minc rằng a2 + b2 + c2 + 2abc 0(1 – b – a + ab)(1 - c) > 01 – c – b + bc – a + ac + ab – abc > 01 – (a + b + c) =ab + bc + ca > 0Nên abc 0, b>0. Chứng minch rằng: Giải: (BĐT đúng)Vậy 10) Chứng minc rằng: a2 + b2 + 1 ab + a + bGiải:Ta có: a2 + b2 2ab b2 + 1 2b a2 + 1 2a 2(a2 + b2 + 1) (2ab + 2a + 2b)(a2 + b2 + 1) ab + a + b11) Cho các số dương x,y,z 0 và x + y + z = 1. Chứng minc rằng: x + 2y + z 4(1-x)(1-y)(1-z)Giải:Vì x,y,z 0 và x + y + z = 1 x,y,z 1 cùng 1-x, 1-y, 1-z 0Áp dụng bất đẳng thức cô – mê man cho nhị số không âm ta có:(1-x)(1-z) 4(1-x)(1-z) (1+y)24(1-x)(1-z) (1-y) (1+y)2(1-y)4(1-x)(1-z) (1-y) (1-y2)(1+y)4(1-x)(1-z) (1-y) 1+y = x+2y+zVậy x + 2y + z 4(1-x)(1-y)(1-z)12) Chứng minh rằng trường hợp những số dương a,b,c bao gồm tổng a+b+c=1 thì Giải:Ta có: (do a+b+c=1)Áp dụng bất đẳng thức cômê mẩn ta có:Vậy cùng với các số dương a,b,c tất cả tổng a+b+c=1 thì 13) Chứng minc rằng giả dụ a,b,c là độ lâu năm ba cạnh của một tam giác thì:a) ab + bc + ca a2 + b2 + c2 0. Ta tất cả Tương tự ta có: Do đó: ++= ab(a-b)+. 020) Cho a,b,c là ba số không âm thỏa mãn nhu cầu a + b +c = 1. Chứng minh rằng: a + b 16abcGiải:Áp dụng bất đẳng thức côsi mang đến nhị số ko âm ta có:1 = (a + b +c)2 4a(b + c) Mà (b + c)2 4bc nênb + c 4a.4bc tốt b + c 16abc21) Cho x2 + 4y2 = 1. Chứng minc Hướng dẫn: Đặt x – y = A x = A + y rồi núm vào biểu thức x2 + 4y2 = 1..sử dụng kiến thức về phương trình bậc hai để suy ra điều nên chứng minh22) Cho a, b, c là chiều lâu năm tía cạnh của một tam giác. Chứng minch rằng: (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) abcGiải:Ta có: a2 – (b – c2) a2 (a+b-c)(a-b+c) a2Tương tự: (b+c-a)(b-c+a) b2 (c+a-b)(c-a+b) c2<(a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)>2 (abc)2(a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) abc23) Chứng minch bất đẳng thức sau: 3(x2 + y2 + z2 )(x+y+z)2 với đa số x,y,zGiải: 3(x2 + y2 + z2 )(x+y+z)2 (BĐT đúng)Vậy 3(x2 + y2 + z2 )(x+y+z)224) a) Chứng minh (cùng với a,b > 0)b) Chứng minch rằng ví như a + b 2 thì a3+b3 a4 + b4Giải:a) Áp dụng bất đẳng thức côđắm say mang lại nhì số dương ta có: 2Vậy b) Ta có: a4 – a3b + b4 – ab3 = a3(a – b) - b3(a – b) = (a3 – b3)(a – b) = (a – b) (a – b)(a2 + ab + b2) = (a – b)2<(a + + 0a4 + b4 a3b + ab32(a4 + b4) a4 + b4 + a3b + ab32(a4 + b4) a3(a + b) + b3(a + b)2(a4 + b4) (a + b)( a3+ b3)2(a4 + b4) 2( a3+ b3) vì chưng a + b 2 >0Vậy a3+b3 a4 + b425) a) Cho a 0, b 0. Chứng minh: b) Cho . Chứng minc rằng: Giải:a) (a + b)(9 + ab) 12abÁp dụng bất đẳng thức côsi cho nhị số ko âm ta có:b) Ta có:a4 + b4 = 26) Cho a+b+cabc. Chứng minch rằng a2+b2+c2abcGiải: Vì a+b+cabc đề nghị tất cả nhị trường đúng theo xảy ra- Trường đúng theo : Ta có: - Trường hợp: trong bố số có ít nhất một số bé dại rộng 1Không mất tính tổng quát, mang sử Ta có: a2+b2+c2 a2+b227) Cho x1, y1. Chứng minh Giải:28) Chứng minh rằng với tất cả a,b Giải: Nếu tổng a+b 0. Chứng minch : Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức côsay đắm cho những cặp số ;31) Chứng minch rằng: Giải:Ta có:Mà (a2+1)(b2+1) = a2+b2+1+a2b2 = a2+2ab+b2+1-2ab+ a2b2 = (a+b)2 + (1-ab)2Áp dụng (*) ta có: 32) Cho a0, b0. Chứng minh rằng: Giải:Ta có: Áp dụng côham mê mang lại nhị số ko âm ta có:Vậy 33) Cho xy =1, x>y. Chứng minch rằng Giải:Ta có: (theo BĐT côsi)34) Chứng minh: Giải:Theo BĐT cômê mệt cho nhị số dương ta có: a+b vết ‘=’ xảy ra lúc a = bTrong bài bác tân oán bên trên thì lốt ‘=’ không xẩy ra vì a bTa có: 35) Cho cha số dương a,b,c vừa lòng điều kiện a2+b2+c2=5/3. Chứng minc rằng: Giải:Ta có: (a+b-c)2 0 a2+b2+c2+2ab+2ca-2bc0 2ab+2ca-2bc a2+b2+c2Mà a2+b2+c2=5/3 0)36) Chứng minc rằng: a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a(b + c + d + e)Hướng dẫn: Chuyển vế đưa về hằng đẳng thức37) Cho a,b,c,d > 0. Chứng minh rằng: Giải:(vận dụng bất đẳng thức phú )38) Cho a,b,c>0 thỏa mãn nhu cầu a + b + c = 1. Chứng minch rằng: Giải: Áp dụng BĐT côsay đắm mang lại hai số dương ta có:Tương tự:Vậy 39) a) Chứng minh: với đa số xb) Chứng minc Giải:a) Ta có: x2 + 3 = x2 + 2 + 1 (theo cômê mẩn đến nhị số dương)dấu = tất yêu xảy ra vì chưng x2 + 2>0 với tất cả xVậy với đa số xb) (BĐT đúng)Vậy 40) Cho a2. chứng tỏ rằng: Giải: (vày a2) vày a2 bắt buộc 2a – 2 0 thì (BĐT đúng)Vậy ta có: 42) Cho a>0, b>0 với a + b = 1.a) Chứng minc rằng: b) Chứng minh rằng: Giải:Áp dụng những bất đẳng thức phụ: ( HS từ minh chứng )a) Ta có: b) 43) Cho a,b 0. Chứng minc a2b – 3ab + ab2 + 1 0. Dấu bởi xẩy ra Khi nào?Giải:Áp dụng côđắm say đến ba số dương ta có: x+y+z3Suy ra: a2b + ab2 + 1– 3ab 3- 3ab = 3ab – 3ab = 0Dấu bằng xảy ra khi a2b = ab2 = 1 a = b = 144) Cho cha số dương a,b,c . Chứng minch rằng: Giải:Áp dụng côsay đắm mang lại nhì số ko âm ta có: = a + b + c45) Với bốn số a,b,c,d vừa lòng các ĐK a2 + b2 = 2 với (a – d)(b – c) = 1. Chứng minc rằng: c2 + d2 – 2ad -2bc – 2ab -2Giải: Ta có: a2 + b2 = 2 với (a – d)(b – c) = 1Do đó: c2 + d2 – 2ad -2bc – 2ab = c2 + d2 – 2ad -2bc – 2ab + a2 + b2 + a2 + b2 – 4 = a2 – 2ad + d2 + b2 -2bc + c2 + a2 – 2ab + b2 – 4 = (a – d)2 + (b - c)2 + (a – b)2 – 4 2(a – d)(b – c) + 0 – 4 = 2.1 – 4 = - 2 46) Cho a + 4b = 3. Chứng minh rằng: a2 + 4b2 Hướng dẫn: a + 4b = 3 a = 3 – 4b gắng vào biểu thức yêu cầu chứng tỏ rồi dưa về dạng Reviews A2+ 47) Chứng minc rằng trường hợp x+y+z =1 thì x2+y2+z2Giải:x2+y2+z2 = 48) Chứng minch rằng: 2( (cùng với n là số nguyên ổn dương)Giải:Ta có: Mặt khác: Vậy 49) Cho x,y0 cùng x2 + y2 = 1. Chứng minh rằng Giải:Ta có: x2 + y2 = 1 x2 1 với y2 1 cơ mà x0, y00x1 và 0x1 x3x2 , y3y2 x3 + y3x2 + y2 = 1 (1) 1 = x2 + y2 = ((theo bunhiacopxki)Mặt không giống (x+y)2 2(x2+y2) = 4 x+y (2)Từ (1) và (2) ta có: 50) Cho ba số thực dương vừa lòng a + b +c = 12. Chứng minh rằng:Giải:Áp dụng cômê man đến nhì số không âm ta có:Tương tự: 51) a) Chứng minch rằng: (x-y)2 + (y-z)2+ (z-x)2 b)Gọi m là số nhỏ độc nhất trong bố số (x-y)2 , (y-z)2, (z-x)2 Chứng minch rằng: Giải:a) HS trường đoản cú giảib) Vai trò x,y,z tương đồng, giả sử xyz.Vì m là số nhỏ nhất vào tía số (x-y)2 , (y-z)2, (z-x)2 là số nhỏ tuổi tuyệt nhất trong bố số (x-y)2 m, (y-z)2mMặt khác: (x-y)2 + (y-z)2+ (z-x)2 6m m52) Cho a,b là các số dương. Chứng minh: Hướng dẫn: Bình phương thơm nhị vế53) Chứng minch rằng: a4 + b4 a3b + ab3 với mọi a,bHD: Chuyển vế đổi khác tương đương54) Chứng minh rằng với đa số x,y không giống 0 ta tất cả đẳng thức: HD: quy đồng, khử chủng loại, biến hóa tương đương55) Chứng minc 1998 0, b>0. Chứng minh rằng: a3+b3 a2b+ab2HD: chuyển đổi tương đương58) Với a>0, b>0, c>0. Chứng minch các BĐT:a) Giải:a) Áp dụng côtê mê mang lại nhị số dương sinh hoạt vế tráib) Áp dụng côsay mê mang đến nhị số dương từng cặp tương tự câu ac) Chứng minch bài bác toán thù prúc a3+b3 a2b+ab2 rồi suy ra vấn đề cần bệnh minh59) Cho a,b,c vừa lòng ĐK a2 + b2 + c2 = 3. Chứng minch rằng: ab+bc+ca+a+b+c6Giải:Ta có: x2 + y2 2xy hay xy với tất cả x,y (do a2 + b2 + c2 = 3 ) Vậy ab+bc+ca+a+b+c660) Cho a,b,c >0. Chứng minc rằng: Giải:Ta có: Mặt khác:61) Cho a,b,c là độ nhiều năm tía cạnh của một tam giác với p là nửa chu vi của tam giác. Chứng minh: (p – a)(p – b)(p –c) Giải:Ta có: p – a = (vày b + c >a – BĐT tam giác))Tương tự: p – b>0, p –c>0Áp dụng côtê mê cho hai số dương ta có:(p – a)(p – b) Tương tự: (p – b)(p –c); (p – c)(p – a) 62) Cho a,b,c >0. Chứng minh rằng: Giải:Ta có:63) Cho cha số dương a,b,c. Chứng minch rằng:Giải:Ta có: 1 + a2 2a Tương tự: Chứng minh: dung đổi khác tương đương64) Chứng minh: HD: Ta có: Áp dụng bài toán thù trên suy ra BĐT65) Cho bố số dương x,y,z bao gồm tổng bằng 1. Chứng minch rằng:Giải:Áp dụng bất đẳng thức côham đến nhì số dương ta có:Tương tự: 66) Cho x,y>0 với x+y = 1. Chứng minh: 8(x4+y4)+Giải:Ta có: (x+y)2 4xy Mặt khác: (HS từ bệnh minh)Suy ra: 8(x4+y4)+67) Cho những số dương a,b,c bao gồm tổng bằng 1. Chứng minh: Giải:Áp dụng cômê say mang lại nhì số dương ta có:68) Cho a+b+c = 3. Chứng minh: a4+b4+c4 a3+b3+c3Giải:Áp dụng bài xích tân oán phụ x4+y4x3y+xy3 ta có:3(a4+b4+c4) = (a4+b4) + (b4+c4) + (c4+a4)+(a4+b4+c4) (a3b+ab3)+ (b3c+bc3)+ (c3a+ca3)+(a4+b4+c4) = a3(a+b+c)+b3(a+b+c)+c3(a+b+c) = (a+b+c)( a3+b3+c3) = 3 (a3+b3+c3)Vậy a4+b4+c4 a3+b3+c369) Cho những số dương x,y,z thỏa mãn x3+y3+z3 = 1. Chứng minh:Giải:Vì x,y,z>0 cùng x3+y3+z3 = 1 nên 1-x,1-y,1-z >0Áp dụng côsi mê mang lại nhị số dương ta có:Tương tự: Vậy 70) Cho a,b>0. Chứng minh: Giải:Ta có: 71) Chứng minh: với a>b>0HD: bình pmùi hương nhị vế rồi dung cách thức chuyển đổi tương đương72) Cho x,y không âm thỏa mãn x2+y2=1. Chứng minh: Giải:Ta có: (x+y)2 2(x2+y2) = 2 Và (x+y)2 = x2+y2+2xy = 1 + 2xy 1Vậy 73) Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn a+b+c = 0. Chứng minh: ab + 2bc + 3ca 0Giải: a+b+c = 074) Cho a,b,c > 1. Chứng minch : Giải:Áp dụng cômê man mang lại hai số dương ta có:Tương tự: Vậy 75) Cho x,y là nhì số thực làm sao để cho x+y=2. Chứng minc xy(x2+y2)2Giải: